మనం సాధారణంగా గ్రాఫ్ పద్ధతి ద్వారా రేఖీయ సమీకరణాల జతకు సాధనను, మూలాల స్వభావాన్ని మాత్రమే కనుగొంటున్నాం. అదే విధంగా గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి సమస్యలను సాధించే టెక్నిక్స్ మన పాఠ్యాంశాల్లోనూ చాలా తక్కువగా ఉన్నాయి. కానీ ఇంజనీరింగ్‌లో గ్రాఫ్ థియరీ అవసరం ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు ఒక లూప్ (Loop)లో ఎంత కరెంట్, ఎంత వొల్టేజీ ఫ్లో అవుతున్నాయో తెలుసుకునేందుకు ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీర్ నెట్‌వర్‌‌కకు సంబంధించి తొలుత గ్రాఫ్ వేసుకుంటాడు. ఆ తర్వాత లూప్‌లో ప్రవహిస్తున్న కరెంట్, వొల్టేజీ, పవర్‌లను చాలా సులువుగా ఓగఔ, ఓఇఔ ఉపయోగించి కనుగొంటాడు.
ఒక ఎలక్ట్రికల్ నెట్‌వర్‌‌కలో కరెంట్, వోల్టేజీలను గ్రాఫ్ ద్వారా ఎలా కనుగొంటారో ఇప్పుడు చూద్దాం..
ఇక్కడ ప్రతి ఎలిమెంట్ (Element)ను ఒక రేఖతో చూపిస్తాం. దానికి సంబంధించి గ్రాఫ్ కింది విధంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు దీంట్లో KVL, KCL ఉపయోగించి కరెంట్, వోల్టేజీలను కనుక్కోవచ్చు.
ఈ విధంగా మెకానికల్, కంప్యూటర్ సైన్‌‌సల్లో కూడా గ్రాఫ్ థియరీ చాలా ముఖ్యపాత్ర పోషిస్తుంది.
ఇప్పుడు ఎక్కడికైనా వెళ్లాలనుకుంటే దారి తెలియకపోతే వెంటనే గూగుల్ మ్యాప్స్ సహకారంతో దారి తెలుసుకుంటాం. ఆ దారి చూపించే పద్ధతి కూడా గ్రాఫ్ థియరీ ద్వారానే ఉంటుంది. ఉదాహరణకు హైదరాబాద్, విజయవాడలు టూవే రహదారితో కలిసి ఉన్నాయనుకుందాం. దీన్ని గ్రాఫ్ (గూగుల్ మ్యాప్స్)లో రెండు నగరాలను రెండు నోడ్‌‌సతో చూపిస్తాం. ఆ రెండు నగరాల మధ్య రోడ్డును రేఖతో చూపిస్తాం. ఈ విధంగా మనం గ్రాఫ్ థియరీని ఉపయోగిస్తాం.
ఇప్పుడు మనం గ్రాఫ్‌లో ముఖ్యపదాలైన సెగ్మెంట్, లైన్ (సరళరేఖ), టాంజెంట్ అంటే ఏమిటో తెలుసుకుందాం.
మా రోజుల్లో లైన్ (సరళరేఖ)ని నిర్వచించాలంటే ఈ విధంగా చెప్పేవారు...
మీరు ఒక ప్రదేశం నుంచి మరో ప్రదేశానికి ప్రయాణం చేస్తున్నారనుకోండి.. అంటే మీ ప్రయాణం చాలా దారుల గుండా వెళ్లొచ్చు. కానీ ఏ దారి ద్వారా గమ్యాన్ని చాలా తొందరగా, ఒకేదిశలో (No change of direction) చేరుకుంటావో తెలిపేదే లైన్ (సరళరేఖ).
{పస్తుతం లైన్‌ని ఏ విధంగా నిర్వచిస్తున్నారంటే.. ఆదిబిందువు (Initial Point), అంత్య బిందువు (Terminal Point)ల మధ్య ఏ దారి తొందరగా, ఒకేదిశలో చేరుకుంటుందో దాన్ని సరళరేఖ అంటారు.
ఆ రెండు బిందువులు ఆది బిందువు, అంత్య బిందువులను సెగ్మెంట్ అని అంటాం.
ఇప్పుడు లైన్ (సరళరేఖ)లో ఆది బిందువు నుంచి –¥ (ఇన్‌ఫినిటీ) వరకు, అంత్య బిందువు నుంచి + ¥ (ఇన్‌ఫినిటీ) వరకు పొడిగిస్తే దాన్ని టాన్‌జెంట్ (Tangent) అంటాం.
ఇప్పుడు ఈ నిర్వచనాలను ఒక గ్రాఫ్‌లో చూద్దాం.
పై గ్రాఫ్‌లో మీరు గమనిస్తే బిందువు ’అ’అనేది ఆది బిందువు (Intial Point), బిందువు 'B' (Terminal Point) అనేది అంత్య బిందువు. ఈ రెండింటి మధ్యలో దిశలో మార్పు లేకుండా బిందువు ’అ’ నుంచి బిందువు ’ఆ’కి తొందరగా చేరినటువంటి దారి (ఠ్చీడ) అనేదే లైన్ (సరళరేఖ). పైగ్రాఫ్‌లో అఆ అనేది సరళరేఖ అవుతుంది.
ఇప్పుడు బిందువు 'A', 'B’లు సెగ్మెంట్ అవుతాయి. రేఖను బిందువు అ నుంచి ృ థీ వరకు, ఆ నుంచి + ¥ వరకు పొడిగించాం. దీన్ని టాంజెంట్ (Tangent) అంటాం.
సరళరేఖ రూపం అనేది 'y = ax + b' మాదిరిగా ఉంటుంది. అంటే రేఖాగణితం నుంచి ఆల్‌జీబ్రా రూపంలో చూపిస్తున్నాం.
y = ax + b అనేది (First order equation) మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం అవుతుంది.
ఇప్పుడు పారాబోలా (Parabola) గురించి చూద్దాం.
ఒక చోటు నుంచి బంతిని మరో చోటుకు విసిరారు అనుకుంటే ఆ బంతి ఏ విధంగా వెళ్లిందో తెలిపే మార్గమే 'Parabola’. నీటి పైపు లైను ఎక్కడైనా కొంచెం పగిలితే దాంట్లోంచి నీరు కొంచెం పైకి వెళ్లి, మళ్లీ కిందపడుతుంది. నీటి మార్గం కూడా Parabolaను సూచిస్తుంది.
ముఖ్యంగా మనం Parabola సమీకరణాన్ని y = x2 అని రాస్తాం. దీని గ్రాఫ్ ఎలా ఉంటుందంటే..
అంటే y విలువ అనేది పై ఆధారపడి ఉంది.
ఇప్పుడు x = 0 తీసుకుంటే y = 0 అవుతుంది.
x = 1 తీసుకుంటే y = 1 అవుతుంది.
x > 0, ఈ కండిషన్‌‌సలో y గ్రాఫ్ అనేది డ అక్షానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. y అనేది 0, + ¥ మధ్యలో ఉన్నట్లయితే గ్రాఫ్ అనేది x అక్షానికి దగ్గరగా వస్తుంది.
ఈ కండిషన్‌లో గ్రాఫ్ అనేది డ అక్షానికి దగ్గరగా వచ్చింది.
x < 0, ఈ కండిషన్‌లో Parabola అనేది 'x' వైపు పడిపోతుంది.
ఈ కండిషన్‌లో గ్రాఫ్ అనేది గీ అక్షానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.
Þ ParabolaÌZ y = x2 అనేది రెండో ఆర్డర్ సమీకరణం (Second Order Equation)
అదేవిధంగా y = – x2 ని గీయమంటే y = x2 కి ప్రతిబింబం రాయాలి. y = – x2 అనేది కింది విధంగా వస్తుంది.
y = x2లో (–1, 1), (1, 1) అనే బిందువు వచ్చాయి.
y = –x2లో (–1, –1), (1, –1) వచ్చాయి అంటే పైన వచ్చిన బిందువులకు ప్రతిబింబాలు వచ్చాయి.
ఈ విధంగా ఏ కండిషన్‌లో అయినా గ్రాఫ్ (Parabola) సులువుగా గీయడం నేర్చుకోవాలి.
ఇన్ని రకాలుగా మనకు గ్రాఫ్ థియరీ ఉపయోగపడుతుంది కాబట్టి మనం దానిపై ఎక్కువగా శ్రద్ధ పెట్టాల్సిన అవసరం ఉంది. అది మన పాఠ్యాంశంలో చిన్న అంశమే అయినప్పటికీ అది చాలాచోట్ల చాలా రకాలుగా ఉపయోగపడుతుంది. ఇదే విధంగా ప్రతి అంశాన్ని వేరేఅంశానికి అనుసంధానం చేసి, వాటి మధ్య సంబంధాన్ని కూడా తెలుసుకుంటే ఆ సబ్జెక్ట్ చాలా ఉపయోగపడుతుంది.
విద్యార్థుల మేధస్సుకు ప్రశ్నలు:
రెండు వరుస ధన బేసి సంఖ్యల మొత్తం 290 అయిన ఆ సంఖ్యలను కనుక్కోండి?
వర్గ సమీకరణం మూలాలను కనుక్కోండి?
x2 + x – 7 = 0 తాలూకు మూలాలు x1,x2 అయితే G) x12 + x22
¼)x13 + x23 కనుక్కోండి?
గమనిక: పై సమస్యలకు కొత్త పద్ధతిలో పరిష్కారాలను పంపిన విద్యార్థుల పేర్లను ప్రచురిస్తాం.
ఈ-మెయిల్: sakshieducation@gmail.com
- డాక్టర్ చుక్కా రామయ్య,
ప్రముఖ విద్యావేత్త.
